Fixtures and fittings 2

[drraug]

Вот все-таки упрямства во мне больше, чем rational thinking.

Упоролся-таки извлечь поврежденные болты с велосипеда, снять багажник и поменять мой и Анкин местами. Зачем? Потому что старый Анкин багажник не лезет на ее новый велосипед одновременно с крылом, а на мой велосипед лезет. То есть можно не покупать новый багажник (~£25) а элегантно поменять местами имеющиеся.

Ну чтож. Купил кучу разного инструмента (~£50) включая левые сверла и специальные "экстракторы" для винтов. Левым сверлом сверлим дырку сквозь болт: дрель в режиме выкручивания, сверло закручивается, потому что левое, а сам болт не затягивается дальше, а немножко ослабляется (теоретически), потому что правый. Но на практике нифига не ослабляется почему-то. Потом берем экстрактор - он как винт, но расширяющийся, и тоже левый. И прям закручиваем его в болт (тоже вращая в сторону выкручивания). Он своей левой резьбой должен зацепить болт и заставить его крутиться направо (теоретически). На практике - сорвал головку.

Ок, сорвал головки обоим болтам, снял багажник, срезал торчащие концы под ноль, повторил. Конечно, без ведущей дырочки сверло стало соскальзывать на край болта. Кое-как сделал канал, закрутил в него экстрактор - и встал намертво. Упрямства во мне много, а вращающей силы недостаточно.

Ну что, пришлось признать, что две дырки в велосипедной раме потеряны. Это важные дырки, нужные. Но увы. Рядом с ними к счастью есть еще две, для крыла. Но крыло у меня крепится на верхнюю часть рамы только. Так что ок, привинтил багажник к ним. Не без приключений, но все-таки получилось.

Жалко конечно испорченную раму, но что поделать. Ей уже 8 лет, и шансов перепродать все равно немного. А так покатаюсь с ней еще может годика два. В общем, проект вышел неидеально, но все равно засчитаем за успех. И на Анкин велик мой багажник встал прекрасно, то есть тут интуиция и глазомер меня не подвели. Хорошо.

Comments

[drraug]

Я с удивлением должен сказать, что убедительного ответа с ходу не вижу. Я собирался писать про полиномы Сегё, которые аналоги полиномов Чебышева, но на диске. Однако они оказывается аналоги на окружности, а не на диске.

Я посмотрел книжку Бабенко и не нашел там ничего про интерполяцию на диске. Кроме того, я не нашел там ничего в комплексных переменных. С этого момента мне захотелось уточнить: твой диск это
(a) |z|<1, и тогда твои функции - это функции одной комплексной переменной z, или
(b) r<1, 0\leq\phi<2\pi, и тогда твои функции - действительные двух переменных (r,\phi), или
(c) x^2+y^2<1 и тогда твои полиномы - действительные функции двух переменных (x,y)?

В общем-то тебе нужно семейство ортогональных полиномов на диске. Строить их можно по-разному. Мне не удается с ходу найти ответ для комплексных полиномов (но наверняка он есть, а я просто туплю). Для действительных полиномов важный вопрос - ты хочешь чтобы они были полиномами в переменных (x,y) или (r,\phi)?

Для (x,y) ответ кажется полиномы Лежандра на диске: https://www.math.auckland.ac.nz/~waldron/Preprints/Disc-Polys/discpolys.pdf

Для (r,\phi) ответ кажется полиномы Зернике: https://cpsc.yale.edu/sites/default/files/files/tr1539.pdf

Я не считаю свой ответ полным, но прям сегодня вряд ли что-то смогу добавить.

Спасибо!

[gembercannelle.livejournal.com]

В имеющейся у меня книжке Бабенко издания 2002 года ("Регулярная и Хаотическая Динамика) эта интерполяция описана на странице 239, в конце параграфа 5 главы 3 "Интерполяция Функций Многих переменных". Насколько я понимаю, во-первых, интерполяционные функции не обязаны быть многочленами. Во-вторых, главная трудность состоит в выборе interpolation nodes, чтобы константа Лебега была хорошей. (В случае отрезка ничего лучше нулей многочленов Чебышева не придумано, а вот в двумерном случае - загадка, для каждой области нужно подбирать). Но мне казалось, что для аналитических функций на круге должно быть что-то известно.

[drraug]

А, да, нашел.

Интерполяционный класс ты выбираешь сама. Но если это не полиномы - то ты уже скажи, что. Потому что я не знаю )) Так-то всегда можно выбрать в качестве интерполяционного класса исходную функцию, и сделать задачу тривиальной. Но в принципе интерполяционный класс должен состоять из "простых" функций (в удобном тебе определении простоты). Полиномы - достаточно простые )

> В случае отрезка ничего лучше нулей многочленов Чебышева не придумано
кажется и невозможно, они же оптимальные?

Если ты скажешь постановку (a,b,c) и/или удобный тебе класс интерполяционных функций, я попробую поискать еще, когда будет не +30. А то в +30 я чо-то не оч.

[gembercannelle.livejournal.com]

Похоже, тут вышла путаница между аппроксимацией и интерполяцией. Я не могу выбрать исходную функцию, потому что понятия не имею, что это за функция. Для меня "комплексно-аналитическая функция на диске" синоним "функция обладает всеми хорошими свойствами, которые вы могли бы запросить".

Постановка задачи такая: есть некоторый линейный оператор L действующий на пространстве аналитических функций на диске. Известно, что его максимальное собственное значение изолировано и единственно. Требуется предложить алгоритм, который сможет его вычислить за конечное время с большой точностью (скажем 10^{-100}).

Метод решения, который, вероятно, сработает выглядит следующим образом.

1. Выбрать узлы интерполяции и заменить пространство функций интерполяционными многочленами (или чем повезет). По видимому, узлы нужно выбирать так, чтобы решение и было единственным (по-английски unisolvent).
2. Применить оператор к интерполирующим функциям, и посмотреть на значения в узлах интерполяции. Таким образом, получается линейное отображение R^n в R^n, то есть матрица.
3. Хочется верить, что главное собственное значение получившейся матрицы будет приближать (искомое) собственное значение оператора.

Почему я верю что это работает: именно этот подход даёт наилучший результат в одномерном случае (т.е. пространство аналитических функций на отрезке, которые можно продолжить до комплексно аналитических функций в малой его окрестности, и похожий по свойствам линейный оператор).

[drraug]

Я не хотел сказать, что ты практически можешь выбрать целевую функцию в качестве интерполяционного (или аппроксимационного) базиса. Это, конечно, невозможно, потому что ты ее не знаешь. Но я хотел сказать, что выбор этого класса "простых" базисных функций для решения задачи интерполяции или аппроксимации -- он очень важен. Полиномы -- это простой и надежный выбор, но чаще всего ты можешь знать куда больше про твою целевую функцию, и вся эта информация может быть использована для эффективного выбора интерполяционного класса.

Например, ты ищешь старшую гармонику оператора. Если ты что-то знаешь про физику этого оператора, про симметрии, то можно предположить, или доказать свойства его гармоник. Например, если ты знаешь, что старшая гармоника четная, то в интерполяционный класс можно брать только четные полиномы, а нечетные не брать.

Твоя схема решения вполне логичная. Я бы возможно предложил взглянуть на чебфун: https://www.chebfun.org/examples/disk/Eigenfunctions.html
Там в принципе похожий подход, но я не на 100% уверен, какой набор функций они используют. Подозреваю, что это чебышевские полиномы по r умноженные на тригонометрические функции по \phi.

Тебе надо один раз посчитать или сделать алгоритм который будет много-много раз работать?

И еще вопрос - ты пробовала уже просто применить mathematica / sage / maple ?

[drraug]

Вот как раз на вопрос "а какие бы мне выбрать узлы интерполяции" можно ответить так: а построй-ка класс ортогональных полиномов на своей области, и корни (n+1)-го и будут оптимальными n точками-нодами. Именно так возникают Чебышевские полиномы на отрезке. И они же наименее уклоняющиеся от нуля, это все связано.

На диске тебе стало быть тоже надо строить ортогональные полиномы. Но тут уже важный вопрос - полиномы в каких переменных? В зависимости от ответа будут разные семейства и разные ноды.

[gembercannelle.livejournal.com]

Ортогональных систем вообще много. Но именно нули многочленов Чебышева в роли узлов интерполяции даёт оптимальный результат. Возможно здесь что-то ещё важно.

[gembercannelle.livejournal.com]

Да, вопрос о переменных мне непонятен. Ясно, что полиномы от угла писать бессмысленно, и замену всегда можно сделать.